В Европе цепей на колёсах не видал, думал такое только в Южной Америке

В Австрии обязательны цепи на горных перевалах в зимний период, цепи обязательно нужно иметь в машине. В Германии и Швейцарии также цепи обязательны в зоне действия дорожного знака. В Горных регионах Италии и Франции, Чехии и Словении также есть правила относительно цепей. Так что это вовсе не редкость в Европе.

Их нужно одевать и снимать или можно одеть и ездить весь зимний период? Они не сильно портят дорожное покрытие если оно почищено?

С цепями ограничение скорости 50 км/ч, поэтому постоянно с ними не ездят, только если трактора с отвалами-снегочистами.
В ПДД Австрии отдельно указано, что цепи должны быть смонтированы так, чтоб не портить дорожное покрытие и не создавать опасность для других участников дорожного движения § 7 Abs. 2 KFG (Kraftfahrgesetz - закон о транспортных средствах)
а § 102 Abs. 9 KFG прямо указывает, что цепи следует использовать только когда это необходимо (nur dann verwenden, wenn dies erforderlich ist)

Имеется ввиду порча при неправильном монтаже - когда цепь не натянута или хлещет по дороге при вращении колеса. Нарушения на фото нет, так как на этом участке дороге обязательно использование цепей.